E.- Die ausgearbeitete Unterrichtsreihe über
......
Logistische Wachstumsdynamik und
......Chaos für die J-Stufe 10 (74 Seiten)


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Deckblatt!

 

 

Logistische Wachstumsdynamik und Chaos

Materialien für eine mathematische Unterrichtseinheit zur

Einführung in grundlegende, fächerübergreifende

Sichtweisen im Pflichtunterricht der

Jahrgangsstufe 10 (11.1)

 

 

 

 

Eckhard Reinartz

Leibniz - Gymnasium

Düsseldorf 1999

 

 

 

 

Hinweis: Die Graphik zeigt den sog. Verhulst-Attraktor.

 

 

 

Autor/ Adresse:

Dr. Eckhard Reinartz

Städtisches Leibniz-Gymnasium

Scharnhorststraße 8

40477 Düsseldorf

Tel. 49 211 443542 / Schul-Fax: 49 211 442207

E-Mail: e.reinartz@gmx.de

 

 

 

 

Inhaltsverzeichnis

 

1.0 - Vorwort und Zielsetzung

2.0 - Einführende Bemerkungen zum Thema Chaos

3.0 - Wachstumsmodelle

3.1 - Lineares Wachstum

3.2 - Exponentielles Wachstum

3.3 - Logistisches Wachstum

4.0 - Numerische Taschenrechner -und Computerexperimente

4.1 - Zum logistischen Wachstum

4.2 - Zum Feigenbaumdiagramm

5.0 - Graphisches Iterieren mit Arbeitsblättern

5.1 - Das Verfahren

5.2 - Graphisches Iterieren mit der logistischen Wachstumsparabel

5.3 - Graphisches Iterieren für lineare Systeme

5.4 - Anziehende und abstoßende Fixpunkte - Verhaltenskriterium für die
........logistische Wachstumsdynamik

6.0 - Fehlerexpansion, Fehlerkompression und Sensitivität

7.0 - Einbettung in fächerübergreifende Anwendungsfelder
........mit speziellen, kommentierten Literaturhinweisen

8.0 - Literaturverzeichnis (Lvz)

9.0 - Software (Sw)

10.0 -Videofilme (Vf)

11.0 -Glossar zum Chaos

12.0 -Vorschlag zur Stoffaufteilung für eine Unterrichtsreihe
.........von ca. 18 / 19 Unterrichtsstunden

 

Wichtiger Hinweis:

Die Originalarbeit (Stand:6.1.1999) von 74 DIN A-4 Seiten (WINWORD, MS-Office 98) kann nun heruntergeladen werden: Download!

Im folgenden geben wir aus der Originalarbeit (neben oben schon
angezeigtem Deckblatt und Inhaltsverzeichnis) nur noch "Vorwort und Zielsetzung" an und verweisen noch einmal auf die Möglichkeit zum Download.

 

 

1.0 - Vorwort und Zielsetzung

Die vorliegenden Materialien wollen einige grundlegende Aspekte in der Betrachtung dynamischer Systeme vermitteln, die zur Zeit mit Macht in den Unterricht der allgemeinbildenden Schulen drängen und die gleichermaßen für viele Wissenschaftsgebiete aber auch für Ansätze im fächerübergreifenden Unterricht eine erhebliche Bedeutung gewonnen haben.

 

Dynamische Systeme wie strömende Flüssigkeiten und Turbulenzen, Konvektionsströme und Zirkulationssysteme der Atmosphäre, Klimamodelle, oszillierende chemische Reaktionen, biologische Ökosysteme oder neurologische Systeme(z.B. Rhythmik der Herztätigkeit) reagieren mitunter - trotz deterministischer Modellbildung - auf kleinste Störungen völlig regellos und unberechenbar, weil diese Störungen durch nichtlineare Rückkopplungsmechanismen zu beherrschenden Faktoren des dynamischen Systems werden können(Lvz (9); (11)). Aufgrund vieler Einzelergebnisse und neuartiger Einsichten in den verschiedensten Wissenschaftsbereichen und nicht zuletzt mittels der enormen Möglichkeiten moderner Hochleistungsrechner konnte diese neue Betrachtungsweise seit etwa 1980 sicher Fuß fassen.

"Die Chaostheorie hat die Naturwissenschaften mit der überraschenden Tatsache konfrontiert, daß viele Phänomene trotz der Möglichkeit einer strengen und umfassenden deterministischen Modellierung prinzipiell nicht langfristig prognostizierbar sind. Entgegen unserer am mechanistischen Weltbild geschulten Intuition sind Systeme mit dieser Eigenschaft in der Natur offenbar die Regel und nicht die Ausnahme"(Lvz (7), S. 1).

 

Im folgenden beschäftigen wir uns genauer mit Hilfe möglichst einfacher und anschaulicher mathematischer Hilfsmittel mit einigen wesentlichen Sachverhalten nichtlinearer Dynamik, aufgezeigt am Beispiel der logistischen Wachstumsgleichung. Das Unterrichtsmaterial ist für ca. 18 bis 19 Unterrichtsstunden im normalen mathematischen Pflichtunterricht der J-Stufe 10 bzw. 11.1(mit deutlichem Schwerpunkt in der J-Stufe 10) konzipiert.und setzt bei den SchülerInnen keinerlei Vorkenntnisse in nichtlinearer Dynamik voraus; Kürzungen von ca. 5/6 Unterrichtsstunden sind problemlos möglich. Ein zwangloser Einstieg in das Thema ist an vielen Stellen des jeweiligen Jahrgangsstufenstoffes möglich, so u.a. bei Behandlung der Exponentialfunktion in der J-Stufe 10 oder später bei der möglichen Erarbeitung von Zahlenfolgen in der J-Stufe 11.1(Lvz (3), (4)). Die mangelnden Vorkenntnisse der SchülerInnen und die knapp bemessene Unterrichtszeit haben zur Folge, daß die gewählten Beispiele, die Problemeinstiege und die benutzten Fachbegriffe sehr viel einfacher und intuitiver ausgewählt und benutzt werden als dies in den meisten mir bekannten - oft auch für die Sekundarstufe II konzipierten - Unterrichtseinheiten über das vorliegende Thema der Fall ist. Mathematisch exakt gefaßte Begriffe fehlen deshalb ebenso wie ausgefeilte Lehrsätze und Beweise. Die mathematische Vorgehensweise hat mehr experimentellen und entdeckenden Charakter. Ein besonderer Reiz des vorliegenden Themas liegt insbesondere in den vielen fächerübergreifenden Aspekten.

 

Der Aufbau der vorliegenden Unterrichtseinheit bewegt sich entlang der im folgenden geschilderten didaktischen Leitlinie:

Ausgehend von einfachsten Beispielen und aufbauend auf den Vorkenntnissen der SchülerInnen werden die wesentlichen Fakten für lineares und exponentielles Wachstum erarbeitet und zusammengestellt. Weiterhin werden die qualitativen Unterschiede beider Wachstumsmodelle erörtert. Die Rückführung der zeitdiskreten Modellansätze auf lineare Rekursionsgleichungen dient der Vorbereitung auf die Herleitung des diskreten logistischen Wachstums und dem Einsatz von Computern zur numerischen Simulation. Eine abschließende Diskussion macht die Grenzen linearen und exponentiellen Wachstums deutlich. Kursorisch diskutiert werden weiterhin eine Reihe von alternativen Möglichkeiten unbegrenztes Wachstum realistisch zu beschränken, so u.a. auch das Modell von Lottka-Volterra zur Beschreibung von Räuber-Beute-Zyklen in der Natur.

 

Aufgrund der vielfältigen praktischen Anwendungsmöglichkeiten erscheint das anschließend aus dem exponentiellen, diskreten Wachstumsmodell mathematisch hergeleitete zeitdiskrete logistische Wachstumsmodell als ein brauchbarer Ansatz, begrenztes Wachstum angemessen zu beschreiben. Das zeitdiskrete logistische Wachstumsmodell führt auf eine nichtlineare Rekursionsgleichung; dies ist neu gegenüber den Rekursionsgleichungen des linearen und exponentiellen Wachsstums. Erste Vermutungen der SchülerInnen über den Verlauf der logistischen Zeitreihe führen auf die diskrete Form der"Sättigungskurve".

 

In den sich anschließenden Taschenrechner -und Computerexperimenten entdecken die SchülerInnen selbständig, daß die logistische Wachstumskurve(Zeitreihe!) ein überraschendes und von der "Sättigungskurve" völlig abweichendes Verhalten(bis hin zum Chaos!) aufweist. Dieses abweichende Verhalten scheint erheblich komplizierter zu sein als dies auf den ersten Blick vermutet werden kann. Die Entdeckung der Feigenbaumkonstanten d und das überaus komplexe Lösungsverhalten - insbesondere für den chaotischen Parameterbereich - der mathematisch besonders einfach aussehenden logistischen Wachstumsgleichung ist erstaunlich und kann aus den vorangegangenen Experimenten nicht genauer begründet werden. Keine tiefergehende Begründung des Zusammenhangs aber eine bessere Strukturierung des beobachteten konplexen Verhaltens liefern Computer -bzw. Taschenrechnerexperimente zum Feigenbaumdiagramm.

Was ist der tiefere Grund für das zum Teil erstaunliche und merkwürdige Verhalten der logistischen Zeitreihen?

 

Eine rein mathematisch-abstrakte Analyse und Untersuchung ist schwierig und verbietet sich deshalb für die Jahrgangsstufe 10 (11.1); sie ist auch für Oberstufenkurse im Pflichtunterricht nicht ganz einfach. Die Beantwortung dieser Frage wird nun mehr geometrisch-plausibel mit Hilfe des leicht verständlichen Verfahrens der Graphischen Iteration angegangen. Das graphische Iterieren per Hand mit Hilfe von Arbeitsblättern führt auf Entdeckungen, die anschließend geometrisch zufriedenstellend analysiert und interpretiert werden können. Dabei kann von den drei wesentlichen Charakteristika des Chaos, nämlich Mischen, Periodizität und Sensitivität vor allem die Sensitivität den SchülerInnen in befriedigender Form vermittelt werden. Wichtig im Unterricht ist hierbei bzgl. der Sensitivität die Analyse und klare Abgrenzung von linearer und nichtlinearer Dynamik.

 

 

Die Frage, warum die Nichtlinearität der logistischen Wachstumsgleichung eine so große Rolle spielt, beantwortet die Analyse der Graphischen Iteration bei linearen Systemen(lineare Dynamik), die wiederum von den SchülerInnen mit Hilfe von Arbeitsblättern vorgenommen werden kann. Die SchülerInnen kommen jetzt bzgl. der Unterschiede von linearer und nichtlinearer Dynamik mühelos zu vielfältigen Ergebnissen, so u.a.: In linearen dynamischen Systemen ist das Auftreten von Chaos nicht möglich, aber nicht in jedem nichtlinearen System steckt Chaos!

 

Eine einfache geometrische Analyse der graphischen Iteration bei linearen Systemen und bei der logistischen Parabel bzgl. Verhaltensdynamik, Fehlerexpansion und Fehlerkompression und ihre Auswirkungen auf die Sensitivität in einem dynamischen System vertiefen die Erkenntnis über die Unterschiede von linearer und nichtlinearer Dynamik . Betrachtungen zu fächerübergreifenden, unterrichtsimmanenten Anwendungsfeldern und ein Vorschlag für eine Einheit von 18/19 bzw. 13/14 Unterrichtsstunden runden die Unterrichtsreihe ab.

Aus mathematischer Sicht ist die Iteration die mathematische Leitlinie für das vorliegende Unterrichtskonzept. Iteration paßt zum Computer, denn niemand kann besser iterieren als er. Der Begriff der Iteration wird bei der graphischen als auch bei der numerischen Iteration rein intuitiv erklärt und verwendet. Wir benutzen im übrigen die Begriffe Rekursion und Iteration synonym - obwohl das nicht ganz korrekt ist - , weil SchülerInnen der Jahrgangsstufe 10(11.1) eine saubere begriffliche Unterscheidung i.a. nur als übertriebene definitorische Spitzfindigkeit empfinden und der eigentliche Sachverhalt aus dem Blick gerät.

 

Die vorgeschlagene Unterrichtseinheit basiert u.a. auf vielfältigen positiven Erfahrungen des Autors mit dem Thema Chaos(Deterministisches Chaos) im normalen Mathematikunterricht und in Projektwochen mit den verschiedensten J-Stufen am Luisen-Gymnasium in Düsseldorf, einer sog. Unesco-Projektschule(Themenschwerpunkt u.a.: "Umwelt und globale Verantwortung"); (Lvz (7), (8), (9); (10); (11)). Leitlinie bei all diesen Unterrichtsveranstaltungen (selbst in einem Leistungskurs) war immer, daß intuitives und entdeckendes Begreifen und Lernen absoluten Vorrang vor allen mathematisch-begrifflichen Spitzfindigkeiten und Deduktionen haben muß.

 

Die vorliegenden Ausarbeitungen stützen sich zum Teil auf Peitgen, Jürgens, Saupe (5), (6), Reinartz (8), Lergenmüller (3), (4) des Lvz und eine Unterrichtskonzeption für die J-Stufe 10, die der Autor im Verlauf des Jahres 1995/96 im Rahmen seiner Mitarbeit für das Projekt MEDOS (Modellbildung/ Exploration/Dynamik/Chaos und Simulation) des Landesinstituts für Schule und Weiterbildung des Landes Nordrhein-Westfalen in Soest erarbeitet hat. Eine genauere Beschreibung dieser Unterrichtskonzeption findet der interessierte Leser in Reinartz (11) des Lvz. Auf der Basis dieser Unterrichtskonzeption wurde vom Autor im Juni 1996 im Rahmen der Projektwoche ‘96 des Leibniz-Gymnasiums in Düsseldorf ein Projekt über grundlegende Aspekte der Chaostheorie erfolgreich durchgeführt.

 

Die bewußt breit angelegte Darstellung der Unterrichtseinheit läßt einen wünschenswerten und sinnvollen Einsatz der vorliegenden Ausarbeitungen oder Teilen davon zur persönlichen SchülerInnenlektüre als erste Einführung in das Thema "Chaos" zu.

 

Der enge Zeitrahmen im mathematischen Pflichtunterricht erlaubt zwar den Einsatz von Computern und programmierbaren Taschenrechnern, i.a. aber nicht die selbständige Erstellung von ablauffähigen Computerprogrammen durch die SchülerInnen zur Untersuchung der vielfältigen Aspekte des Themas Chaos. Die vorliegende Unterrichtskonzeption schließt aber Aktivitäten in diese Richtung selbstverständlich nicht aus. Aus den genannten Gründen werden deshalb für das Experimentieren am Computer ganz bewußt nur fertige Modellbildungssysteme und Computersoftware eingesetzt(Sw (1), (2), (3)).

 

Ein wesentliches Ziel der vorgestellten Unterrichtseinheit ist unter anderem auch, daß mit einfachsten mathematischen Hilfsmitteln wesentliche Sachverhalte nichtlinearer Dynamik und ihre Konsequenzen für ein angemessenes Verhalten im Umgang mit der Natur und Umwelt einsichtig gemacht werden. Der Unterrichtsschwerpunkt liegt also keineswegs auf dem rein mathematischen Aspekt und der darauf fußenden Zielsetzung, mathematisch möglichst viel auf dem Niveau der Jahrgangsstufe 10 (11.1) aus dem Thema "Chaos" herauszuholen. Für derart anspruchsvolle Ziele reicht bei realistischer und ehrlicher Analyse die zur Verfügung stehende Unterrichtszeit im mathematischen Pflichtunterricht bei weitem nicht aus, auch wenn manche der in der Literatur ansatzweise vorgestellten Unterrichtskonzeptionen den gegenteiligen Eindruck zu vermitteln suchen.

 

Wenn auch ein sehr vereinfachtes mathematisches Klimamodell in den Jahrgangsstufen 10 oder 11 noch nicht besprochen werden kann, so leidet darunter aber keineswegs die Einsicht in den gesamten Problemkreis der nichtlinearen Dynamik, weil die zu behandelnde logistische Wachstumsgleichung bekanntlich die wesentlichen Strukturen von Chaos generiert. Der angemessene Transfer der Strukturen und Ergebnisse des logistischen Wachstumsprozesses auf andere nichtlineare Dynamiken und die Diskussion über die sich daraus ergebenden Konsequenzen für unser eigenes Verhalten(z.B. Klimaproblematik und Klimamodelle) sollte gerade auch im Hinblick auf die Forderung nach fächerübergreifendem Unterricht den SchülerInnen unbedingt zugemutet werden. Bezüglich der oben erwähnten Sensitivität sollte insbesondere deutlich werden, daß viele der real existierenden Öko -und Klimasysteme etc. äußerst empfindlich auf menschliche Eingriffe reagieren können, unter Umständen mit katastrophalen Folgen.

 

Auch Frederic Vester betont in seinem Buch Unsere Welt ein vernetztes System; Klett-Cotta, Stuttgart 1978 die Notwendigkeit einer rationalen Auseinandersetzung mit Systemzusammenhängen: " Angesichts unserer immer undurchsichtigeren Gesamtsituation, der sich zuspitzenden Energie -und Rohstofflage, der steigenden Soziallasten, der zunehmenden Umweltprobleme, aber auch solcher der persönlichen Lebensführung erscheint eine Öffnung des Bewußtseins in Richtung eines besseren Verständnisses von Systemzusammenhängen von eminenter Bedeutung".

 

Fast missionarisch wirkt das Plädoyer des bekannten Populationsbiologen Robert May, der bereits 1976 in seinem berühmten Artikel Simple mathematical models with very complicated dynamics; Nature 261/459, S. 459-467 forderte, daß in einer von linearen Denkmodellen beherrschten Welt schon jeder Schüler - ausgerüstet mit einem Taschenrechner - mit der logistischen Differenzengleichung spielen solle, um mehr über den realen, aber nahezu vollständig nichtlinearen Charakter dieser Welt und das in ihr lauernde Chaos zu erfahren.

 

Die Auseinandersetzung mit der Nichtlinearität in unserer Welt bedeutet nichtzuletzt eine Erziehung - weg vom linearen - zum dringend notwendigen vernetzten, nichtlinearen Denken und deshalb eine Erziehung zur globalen Verantwortung(Lvz (9), (10), (11); (12)). Auch deshalb verstehen sich die Materialien als ein praktischer Beitrag zum anwendungsorientierten und fächerübergreifenden bzw. projektorientierten Unterricht.

 

Düsseldorf, im Januar 1999
(Stand der letzten Homepageüberarbeitung)

 

Möglichkeit zum Download! (*.zip 312 kb)

 

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